【读书笔记】重温微积分

数学既不是它（物理）的“加工订货”的产物，也不简单是工具或语言，而是与物理学以不同角度，用不同方法，但是又互相携手，共同研究大自然。我想，应该使许多大学生知道这是多么吸引人的事业。并且希望他们中间有些人能走上这条路。

数学懂得越多，从直觉里得到益处也越多，至少是受“严格性不足”危害越少。……越往后走，越深入数学和物理学，您会得到越大的“自由”。

我的一位老师当年就告诉过我，年轻时代思想最敏锐，即令一时不懂，将来再接触到会有似曾相识之感，对自己大有好处。

一、变量的数学

$\epsilon-\delta$语言

初等数学是常量的数学，高等数学是变量的数学。

$\sqrt{2}$, 无理数, 连续

有理数本质上只可用于刻画离散的对象，而几何图形如线段等等本质上却是连续的。

芝诺悖论，阿基里斯与乌龟，无穷级数

阿基里斯的速度比乌龟快10倍，但是他让乌龟先走了100米。当阿基里斯追了这100米时，乌龟又向前走了10米，当阿基里斯追上这10米时，乌龟又向前走了1米。如此进行下去直至无穷，阿基里斯是永远追不上乌龟的。

若阿基里斯的速度为$v$，则乌龟的速度是$v/10$。当阿基里斯追到乌龟的出发点时，他用了时间$100/v=T$。而在这个时间里，乌龟向前走了$vT/10$，以此类推，阿基里德（追上乌龟）所用的时间是：
$$T+\frac{T}{10}+\frac{T}{10^2}+…=T\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{10^n}=\frac{10}{9}T$$